烧田埂的管理主要涉及以下部门：
林业主管部门：
依据《中华人民共和国森林防火条例》等法律法规，林业主管部门负责监管森林防火工作，包括禁止烧田埂草等容易引起森林火灾的行为。
森林公安机关：
森林公安机关负责对违反禁火令的行为进行查处，包括警告、罚款、行政拘留等处罚，并在涉嫌犯罪时移送司法机关追究刑事责任。
环保部门：
根据《中华人民共和国大气污染防治法》等相关法规，环保部门对烧田埂等可能产生烟尘污染的行为进行监管，可责令改正并处以罚款。
农业部门：
农业部门也参与监管农村田里烧草的行为，确保农业生产安全，并防止引发环境污染。
乡镇政府及林业站：
乡镇政府及其林业站也在其管辖范围内对烧田埂等违法行为进行劝阻、制止，并可根据情节轻重给予警告和罚款等处罚。
综上所述，烧田埂的行为涉及多个部门的监管，具体管理职责如下：
林业主管部门和森林公安机关主要负责森林防火和火灾的查处。
环保部门主要负责监管烧田埂可能产生的环境污染。
农业部门主要负责农业生产安全的监管。
乡镇政府及林业站负责基层的劝阻、制止和处罚工作。
建议在具体执行中，相关执法部门应加强协作，确保法律法规得到有效执行，共同维护生态环境安全。
